اثبات خدا با ریاضیات ممکن است؟

برخی از ریاضی‌دان‌ها مترصد این بودند که با استفاده از منطق به اثبات خدا بپردازند. و در این یادداشت، اون‌چیزی را که کشف کرده‌اند باهم مطالعه می‌کنیم.

چه کسی نخستین‌بار درباره‌ی خدا به نام جستاری ریاضیاتی اندیشید؟ دلواپس نباشید. هنوز این گفت و گو را قویاً تعدادی از دانایان نخبه به نام پایه کارشان پی گرفته‌اند.

اما سوال این است که آیا می‌توان اثبات خدا را با ریاضیات فرمول‌بندی کرد؟ در واقعیت، در گذر قرن‌ها، چند ریاضی‌دان دفعات کوشیده‌اند وجود امر قدسی را اثبات نمایند. از پاسکال گرفته تا دکارت و لایبنیتس و گودل که در این‌باره قلم‌ها فرسوده‌اند! (درباره‌ی این داستان نیز حوالی سال 1987 مطلبی چاپ شده بود).

زیادتر بخوانید: گذر درهم‌تنیدگی کوانتومی از فلسفه تا فیزیک ؛ آیا انیشتین اشتباه می‌کرد؟

اثبات خدا با منطق و ریاضیات

احتمالاً، حیرت‌ترین چیز این باشد که در نزد‌نویسی که نخستین بار در سال 2013 منتشر شد الگوریتمی اثبات زنجیره استدلال‌های منطقی گودل را سنجید و در نهایت به این نتیجه رسید که بی‌شک اثبات او صحیح است. بنابراین شاید از خودتان بپرسید که در نهایت، ریاضیات تمام استدلال‌های خداناباوران را رد می‌کند؟

همانطور که احتمالاً خیال زده‌اید، خیر اینگونه نیست. گودل ضرورتاً اثبات کرد چیزی وجود دارد که او اون را «الوهیت (امر قدسی)» نامیده است، که ضرورتاً پی‌آمد مفروضاتی قطعی بود. اما این‌که آیا این مفروضات دقیق‌ هستند یا نه می‌تواند محلی از تردید باشد.

برای مثال، اگر من فرض کنم که همه‌ی گربه‌ها سه ‌رنگ‌اند و بدانم که تمام گربه‌های سه‌رنگی همیشه ماده هستند، سپس می‌توانم نتیجه بگیرم: تقریباً تمامی گربه‌ها ماده هستند. حتّی اگر این استدلال منطقی صحیح باشد این فرض راستگو نیست.

برای چی که این فرض که همه‌ی گربه‌ها سه‌رنگ هستند، کذب است. اگر یکی بخواهد درباره‌ی هستومندهای مشاهده‌پذیر در مکان، نظیر گربه‌ها اظهاراتی بکند می‌تواند با تحقیقات علمی اون را بسنجد. امّا اگر درباره‌ی اثبات یک وجود قدسی بخواهیم بگوییم مسئله کمی پیچیده‌تر است.

پاسکال راه متفاوتی برای اثبات خدا در پی گرفت؟

لایبنیتس، دکارت و گودل بر اثبات‌های هستی‌شناسانه‌ی وجود خدا تکیه کرده بودند تا بر این پایه وجود امر قدسی را از یک‌سری احتمالات منطقی استنتاج کنند، اما در این بین، پاسکال رهیافت متفاوت‌تری را به کار بست: اگر بخواهیم از نقطه نظر امروزی به تحلیل او نگاهی در اندازیم می‌توانیم یک‌کمکی مانند به نظریه‌ی بازی‌ها بدانیمش، امّا خوب در این مورد، ما اون را شرط‌بندی پاسکال می‌نامیم.

برای انجام این رویکرد، او دو احتمال را تدارک می‌بیند. نخست، خدا وجود دارد. و دوم، خدا وجود ندارد. سپس او نتایج و پی‌آمد‌های اعتقاد داشتن و یا نداشتن به خدا را سپس از مرگ می‌سنجد. اگر اینجا یک موجود قدسی وجود داشته باشد و کسی به اون اعتقاد داشته باشد در نهایت به بهشت می‌رسد؛ و در غیر این شکل، به جهنم خواهد رفت. و حتی در دیگر سو، اگر خدا وجود هم نداشته باشد هیچ اتفاقی نمیفتد، اون هم صرف نظر از این‌که مذهبی باشید یا نه.

بنابراین، بهترین استراتژی نزد پاسکال اعتقاد به خداست. برای چی که در نهایت شما را به بهشت می‌رساند. و در بدترین سناریو هم هیچ‌اتفاقی نمیفتد. اما در بدترین سناریو اگر شما اعتقاد نداشته باشید کارتان در جهنم تمام خواهد شد!

فکر‌های پاسکال همه فهم‌اند اما به نوشته‌های مذهبیون ارجاع می‌دهد و درباره‌ی اثبات یک موجود فراطببیعی چیزی به دست نمی‌دهد. در واقع امر، اون‌ها فقط می‌گویند که به باوری که بر پایه‌ی زمان‌طلبی است محلق شوید! ــ‌می‌دانید؟

از آنسلم تا دکارت؛ چه می‌گفتند؟

رهیافت‌های هستی‌شناسانه با دنیا کنجکاوانه‌ی انسانی هم‌قلب‌ترند حتی اگر تغییراتی هم در ذهن خداناباوران ساختن نکند! مثلاً  آنسِلم کانتِربِری خداشناس‌ و دانشمند‌ قرن 12 میلادی که ایده‌هایش را در آخر هزاره‌ی قبلی بیان کرده، گفته است که:

خدا را به نام وجودی فراتر از هر فکر‌ای در نظر می‌گیرد. و در وهله‌ی سپس می‌افزاید که اگر خدایی وجود نداشته باشد، سپس کسی خواهد توانست چیزی بزر‌تر از اون را تصوّر بکند: به عبارتی، موجودی که فراتر از ان نتوان تصور کرد. امّا چیزی مانند به خدا، این وجودی که هم هست و هم منتهی‌الیه آراستگی و نیکی‌ست. این، البته فرض بیهوده‌ای است. برای چی که هیچ‌چیز نمی‌تواند عظیم‌تر از بزرگترین‌ چیز قابل تصور باشد. بر این پایه، این فرض که خدا وجود ندارد باید غلط باشد.

لایبنیتس معادله‌ی اثبات خدا را به‌هم زد!

چند سده وقت واجب بود که برگشتی مجدد به ایده‌ی هستی‌شناسانه  اثبات خدا داشته باشیم که اون هم کسی نبود به به جز رنه‌ دکارت که بی‌شک ناآشنا با نوشته‌های آنسلم نبوده است. او قسمت مهمی از گفت و گو‌های وجودی را برای وجود قدسی به نام موجودی آراستگی‌یافته به نزد کشیده بود.

لایبنیتس نیز دهه‌ها سپس روی اون کار کرد و نقصان‌های این دیدگاه را در یافت: «او معتقد بود که دکارت، علامت نداده بود که «ویژگی‌های   برتر‌قسمت» هستومندهای ویژه، از تثلیث گرفته تا خدا با آراستگی‌گرایی سازگار هستند یا خیر».

لایبنیتس مترصد بود که بگوید آراستگی‌گرایی نمی‌تواند ویژگی مشاهده‌پذیری باشد. از دیگر سو، نمی‌توان اون را نفی کرد که ویژگی آراستگی در یک موجود واحد گرد هم می‌آید یا خیر. بدین ردیف، احتمال وجود یک موجود قدسی باید واقعی باشد. بنابر اون‌چه که گفت و گو‌های آنسلم و دکارت به بین می‌کشند، ضرورتاً خدا وجود دارد.

گودل چگونه به اثبات خدا می‌پردازد؟

به هر روی، از نقطه نظر ریاضیات، این آزمایشات فکری تنها با آرای گودل واقعاً جدی گرفته شدند. این فراوان حیرت‌آور نیست: این دانشمند نیز نزد‌تر در سن 25 سالگی‌اش، با علامت دادن اینکه ریاضیات همیشه حاوی گزاره‌های راستگو است که نمی‌توان آنها را اثبات کرد، داستان را تغییر داده بود؛ برای اثبات چنین چیزی از منطق استفاده جسته بود. که همین منطق هم او را قادر ساخت تا وجود خدا را پابرجا کند. به این 12 مرحله که مجموعه‌ای از اصولات (Ax)، نظریه‌ها (Th) و تعاریف (Df):

 

 

 

 

 

 

 

 

گزاره‌های منطقی گودل اون‌قدر ها هم مرموز نیست!

اجمالاً، این عبارات منطقی، شاید تا حدّی مرموز به نظر برسند امّا بیایید قدم به قدم ایده‌ی گودل را پی بگیریم. او با یک اصل‌ــ‌یکفرض شروع می‌کند، به عبارت دیگر:  اگر φ ثروت P باشد و همیشه به دنبال φ ، یک ψ بیاید، هم‌چنین ψ عضوی از P باشد. برای ساده‌سازی، اگر ما فرض کنیم که P دارای بار «مثبت» باشد. برای مثال، اگر یک میوه خوشمزه باشد، یک ثروت مثبت است. سپس این خوشایند است که اون را بخوریم. بنابر این، خوردن خوشایند اون، یک ارزش و ثروت مثبت است.

اصل دوم، مضاف بر مجموعه‌ای از یک چارچوب و اصول برای P. اگر مخالف چیزی مثبت باشد سپس اون «چیز» باید منفی باشد. از این رو، گودل دنیا را به یک سیاه و سفید قسمت می‌کند: یا چیزی خوب است و یا بد. برای مثال، اگر سلامتی خوب باشد، سپس مریضی ضرورتاً چیزی بد است.

با این دو شرط، گودل اولین قضیه خود را قسمت می‌کند: اگر φ یک ثروت و مشخصه‌ی مثبت باشد سپس این‌جا احتمالی به بین می‌اید که یک  x با ثروت φ وجود دارد. علاوه بر ان، علامت می‌دهد که احتمالی برای وجود چیزی مثبت نیز وجود دارد.

در اون حالا، ریاضی‌دان‌ها برای نخستین بار تعریفی از موجودی قدسی به دست می‌دهند: x چیزی الهی ا‌ست اگر تمام وجوه ویژگی‌های مثبت φ را داشته باشد. دومین اصل متضمن اون است که تعریف خدا در این راه نمی‌تواند ثروت شخصیت و ویژگی‌های منفی باشد (به عبارتی، می‌تواند زایای یک تناقض باشد).

اصل سوم، الوهیت را دارای منشی مثبت افراز می‌کند. این نکته حقیقتاً قابل گفت و گو نیست برای چی که الوهیت ترکیبی‌ا‌ست از تمام مشخصه‌های مثبت.

قضیه‌ی دوم حالا کمی زیادتر محکم‌تر به نظر می‌آید: با ترکیب اصل سوم (مثبت بودن الوهیت) و قضیه‌ی اوّل ( احتمال وجود چیزی مثبت) که هستومند x را می‌تواند به نام وجود قدسی در نظر آورد.

حالا هدف گودل علامت می‌دهد که دنبال کردن چنین رویه‌ای،‌ وجود خدا را ضرورتاً در چارچوب اون‌چه که فرض کرده، انکار ناشدنی می‌کند. او در تعریف دوم «وجود» φ از شئ x را بیان می‌کند، که در اون، این ویژگی تمامی ویژگی‌های دیگر را تعیین می‌کند. یک مثال آشکار: اگر چیزی مانند توله سگ این ویژگی را داشته باشد، لزوماً خوشگل، کرکی و چلمن است.

اصل چهارم در ابتدا فراوان شور انگیز به نظر نمی‌رسد. امّا به سادگی می‌گوید که اگر چیزی مثبت است، پس همیشه مثبت است – بدون توجه به تاریخ، موقعیت یا مکان اون. به نام مثال، توله سگ همانند وجود داشتن و مزهِ خوش، همیشه مثبت است، چه در روز و چه در شبی در هایدلبرگ آلمان یا بوئنوس آیرس!

زیادتر بخوانید: رازها پیدایش زمین با مطالعه‌ی شهاب سنگ مریخی قدیمی‌سال آشکار شد!

خوب تمام این‌ها به چه معنایی‌ست؟

با این اوصاف حالا گودل می‌تواند قضیه سوم را فرمول‌بندی کند: اگر هستومند x الهی باشد، الوهیّت ویژگی بنیادین اون است. خب، این منطقی است؛ زیرا اگر چیزی الهی باشد، دارای تمام ویژگی های مثبت است – و بنابراین ویژگی های x نیز پابرجا خواهد بود.

وهله‌ی بعدی به وجود یک موجود مخصوص مربوط می‌شود. به فرض، اگر در جایی حداقل یکی از هستومند‌هایی نظیر Y دارای ویژگی φ باشد که خاصیت اساسی x نیز هست، آنگاه x نیز وجود دارد. یعنی اگر اون، چیزی مانند‌ به توله سگ است، پس توله‌ها نیز باید وجود داشته باشند.

طبق اصل پنجم، وجود داشتن یک ویژگی مثبت است. خیال کنم، اکثر مردم نیز با اون موافق باشند. بنابراین، با چنین فرضی می‌توان نتیجه گرفت که خدا وجود دارد زیرا این هستومند دارای هر ویژگی مثبتی است که وجود دارد.

جمع‌بندی تمام اون‌چه که گودل می گوید؟

همانطور که مشخص است، استنتاج‌های منطقی گودل همگی صحیح هستند – حتّی کامپیوتر‌ها نیز اون را اثبات کرده‌اند. با این حال، این استنباط‌های او عاری نقد و نقصان نیستند علاوه بر این اصول، که البته می‌توان آنها را زیر سوال برد (برای چی یک دنیا باید به «خوب» و «بد» تقسیم شود؟)، گودل جزئیات بیشتری درباره چیستی ویژگی مثبت ارائه نمی‌کند! بدیهی‌ است که با استفاده از تعاریف و بدیهیات، می‌توان مجموعه P را به شکل ریاضی وصف کرد:

1.   اگر ویژگی‌ای وابسته به مجموعه باشد، نفی اون را شامل نمی‌شود؛ مجموعه مستقل است.
2. اینکه هستیِ یک مجموعه فقط ویژگی‌های همان مجموعه را دارد که خود عنصری از مجموعه باشد. و سپس، مجموعه همیشه عناصر یکسانی نیز دارد – مستقل از موقعیّت اون! در این حالت، وضعیّت انگاره‌ای ریاضی است که مجموعه در اون قرار دارد.
3.  وجود بخشی از مجموعه است.
4. اگر φ بخشی از مجموعه است، پس خاصیت داشتن φ به نام جوهر مجموعه نیز در مجموعه موجود است. اما همه اینها ضمانت نمی‌کند که این مجموعه منحصر به فرد است. ممکن است مجموعه‌های فراوانی وجود داشته باشد که الزامات اون را برآورده سازد.

به نام نمونه، همانطور که منطق‌دانان علامت داده‌اند، می‌توان مواردی را طرح ساخت که طبق تعریف گودل، بیش از 700 موجود الهی وجود داشته باشد که در ماهیت با هم تفاوت دارند. با این حال، این مسئله نهایی وجود اثبات خدا و یا یک (یا چند) موجود الهی دیگر را حل نمی‌کند. اینکه آیا ریاضیات واقعاً راه درستی برای پاسخ به این سؤال است یا نه، خود نیز محل سوال است – حتّی اگر فکر کردن به اون فراوان شور انگیز نیز باشد.

زیادتر بخوانید:

شما دربارهٔ تاریخچه‌ی اثبات خدا با ریاضیات چه فکر می کنید؟ نظرات خود را در قسمت کامنت‌ها با جونی در بین بگذارید.

منبع: scientificamerican